Modelando estrategias de mill en Commander mediante simulación de Montecarlo (parte I)
- 13 minsMotivación
Desde que juego Commander en MTG, llevo explorando varias estrategias de milleo (o “moler cartas”, en español). Estas estrategias prácticamente nos llevan a buscar combos que nos permitan hacer que el oponente tire cartas desde el tope de su biblioteca directamente al cementerio, haciendo que pierda recursos importantes. La principal win condition de esta estrategia consiste en “millear” el deck completo, para que cuando sea turno de robo del oponente y no tenga qué robar, pierda directamente.
En general, las estrategias de mill en Commander suelen percibirse como algo caóticas y a veces difíciles de generalizar: algunas veces pueden dependender de si el mazo oponente es de reanimación (o si les ayuda tener cosas en cementerio en general), del número de criaturas restantes en el mazo y de interacciones encadenadas. Sin embargo, detrás de esa aparente aleatoriedad existe una estructura probabilística que puede ser bien definida.
Este análisis es particularmente relevante para comandantes como los siguientes:
En cada caso, el rendimiento del plan de juego puede depender de diferentes eventos repetidos o de si queremos algo muy directo, como usar 2-card combos (como Bruvac + Maddening Cacophony).
En esta publicación me interesa describir un caso como el primero (que dependa de eventos repetidos), particularmente el siguiente:
“Muele$^*$ $k$ cartas. Si entre ellas hay criatura, genera un nuevo trigger.”
$^*$A partir de este momento dejaré de usar la palabra “moler” y la cambiaré por “millear”. ¿Moler? Ni que fuera 🌶️ para preparar salsa.
Este tipo de eventos se dispara con la interacción de 2 cartas en particular, las cuales compartiré en breve.
Las preguntas naturales que me interesa responder en esta publicación son las siguientes:
- ¿Cuántos triggers esperamos en promedio con una interacción básica?
- ¿Qué tan variable es el resultado de estos triggers?
- ¿Cómo cambia la distribución si aumentamos el número de cartas que se muelen? Es decir, si consideramos más efectos de otras cartas que abonen a este primer evento.
Para responder esto utilizaremos simulación de Montecarlo y, cuando sea posible, intentaremos describir resultados analíticos cerrados.
Comenzaremos planteando un escenario, de ahí, explicaremos qué es la simulación de Montecarlo y describiremos algunos experimentos.
El caso base: Altar of the Brood + Zellix en campo
De Altar of the Brood podemos leer:
“Siempre que otro permamente entre al campo de batalla bajo tu control, cada oponente millea$^*$ una carta.”
$^*$De la carta de hecho leemos “(…) cada oponente pone la primera carta del tope de su biblioteca en su cementerio”, sin embargo, del oráculo oficial podemos verificar que la regla que aplica es con la palabra “mill”.
De Zellix, Sanity Flayer podemos leer:
“Mente Colmena - Siempre que un jugador millee una o más cartas de criatura, crea un token criatura Horror negra 1/1.”
Este caso base es el que desata mi curiosidad por entender mejor las interacciones de milleo. En breve te compartiré por qué.
Consideremos el siguiente caso:
- Ambas cartas están en campo.
- Disparamos un efecto de milleo (como pagar 1 mana y girar a Zellix para usar su habilidad activada).
- Si en el proceso del paso 2 un oponente millea una o más criaturas, se dispara la habilidad triggereada de Zellix y crea un token Horror negro 1/1.
- Como entró un permamente bajo mi control se dispara el Altar, haciendo que mis oponentes milleen una carta.
- Si esa carta milleada es una criatura, regresamos al paso 3.
Si lo pensamos, quizáaas bajo ciertas condiciones muy particulares podríamos tener un combo infinito$^*$ de creación de tokens/milleo. De nuevo, sólo quizás… 🤔
$^*$En este caso consideraremos como combo infinito a aquel en el que logramos millear toda la biblioteca de nuestro(s) rival(es) y a la vez triggereamos a Zellix, creando “infinitos” tokens Horror 1/1.
Mi pregunta principal en mente es: ¿bajo qué condiciones podría tener un combo infinito? Esto me lleva a plantearme una segunda pregunta: ¿cómo puedo verificar cuántas veces se triggerea una habilidad así? Quizás entendiendo esta segunda pregunta pueda responder la primera.
Es por lo anterior que utilizaremos una simulación de Montecarlo para intentar describir en promedio cuántas veces se dispara el trigger del Altar + Zellix, si logramos verificar que se pueda disparar de una manera indefinida, podríamos asegurar un combo infinito, quizás bajo ciertas consideraciones.
¿Qué es una simulación de Montecarlo?
Una simulación de Montecarlo o Monte Carlo es un método numérico que permite estudiar fenómenos aleatorios cuando:
- El modelo matemático exacto puede ser complicado.
- La solución cerrada es difícil de obtener.
- O simplemente cuando queremos validar una aproximación teórica.
En lugar de resolver el problema de forma puramente algebráica, lo que hacemos es reproducir un experimento muchas veces y observar qué ocurre en el promedio de todos estos experimentos repetidos.
Formalmente, si $X$ es una variable aleatoria difícil de analizar de forma exacta, podemos aproximar:
\[\bar{X} = \mathbb{E}[X] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i,\]donde cada $X_i$ es una realización independiente del proceso simulado. De aquí notemos que asumimos que cada $X_i$ es una variable aleatoria independiente e identicamente distribuida (i.i.d.).
En nuestro contexto, cada simulación representa una secuencia de triggers disparados dentro de una partida hipotética bajo ciertas condiciones iniciales del mazo, la cual se detiene una vez se deja de millear una criatura.
Es decir, con esto podemos simular un mazo de 99 cartas con $C$ criaturas y simular que milleamos, contar cuántas veces se encadenó el combo Altar + Zellix y hacer esto miles de veces para calcular un promedio de estos resultados.
Hasta este punto espero haber explicado bien la idea de lo que queremos realizar, en la próxima publicación estaré compartiendo detalles de los resultados obtenidos sobre los experimentos simulados, así como cualquier detalle adicional de los mismos.
SPOILER:
Bajo ciertas condiciones, sí se podría alcanzar un combo de milleo de todo el mazo rival a partir de Altar + Zellix. Mantente en sintonía para conocer bajo qué condiciones puede ocurrir.
Referencias
Si quieres conocer más sobre las simulaciones de Montecarlo, te comparto las siguientes referencias:
- ¿Qué es la simulación de Monte Carlo?
- Monte-Carlo Simulation
- Mathematical Foundations of Monte Carlo Methods
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